Hogyan integethetünk Zénónnak?

Zénón amellett érvelt, hogy nem éred el a buszt. Ott állsz, alig 1 méterre tőle, a sofőr sem zárja még az ajtókat, mégsem fog menni. Ahhoz ugyanis, hogy megtegyed az 1 métert, először meg kell tenned a felét, majd a maradéknak a felét, majd a maradéknak a felét, … Vagyis végtelen számú szakaszt kell megtenned, s erre, véges lény lévén, nem vagy képes. De – mondja Zénón – végső soron nincs miért szomorkodnod. Ugyan minek is szállnál fel a buszra? A busz úgysem visz sehova. Ahhoz ugyanis, hogy elvigyen valahova, először meg kell tennie a távolság felét, majd a maradéknak a felét, majd annak a felét…zeno1

Alig 2000 évvel később szerencsére rájöttünk a megoldásra: egy végtelen sorozatnak is lehet véges összege. Jelesül az

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 …

 sorozat végtelenben vett határértéke 1. Szia Zénón, majd integetünk a buszról.

Azért még ne vegyük elő a zsebkendőt. Ahhoz, hogy felszálljunk, meg kell tennünk 1/2 métert, 1/4 métert, 1/8 métert … stb. Magyarán végtelen számú feladatot kell elvégeznünk véges idő alatt. Nevezzük az ilyen feladatokat szuperfeladatnak. A szuperfeladat megszámlálhatóan végtelen feladatból áll, és véges idő alatt kell teljesíteni. Mármost úgy tűnik, hogy a szuperfeladatok teljesítése logikailag lehetetlen. Lássunk két példát.

thomson1Este 11:59-kor ég a zseblámpád. 1/2 perccel később lekapcsolod, 1/4 perccel később meggyújtod, 1/8 perccel később eloltod… (Ne törődjünk azzal, hogy nem tudunk akármilyen gyorsan gombokat nyomogatni; a logikai lehetőség érdekel, nem a fiziológiai.) Ég a zseblámpád pontban éjfélkor? Lehetetlen, hogy égjen: bármilyen éjfél előtti időpontra, melyben ég, van olyan éjfélhez közelebbi időpont, amelyben nem ég. (Ha éjfél előtt 1/512 perccel ég, 1/1024 perccel később leoltod.) De ugyanilyen okból az is lehetetlen, hogy ne égjen: hiába nem ég a zseblámpád, és hiába van már majdnem éjfél, még éjfél előtt felkapcsolod. Márpedig éjfélkor vagy ég a zseblámpád, vagy nem. Ha a kapcsolgatós szuperfeladatból az következik, hogy nem igaz sem az, hogy ég, sem az, hogy nem ég, akkor a szuperfeladat elvégzése logikai ellentmondást foglal magába.

Második példa. Van egy végtelen nagy urna, amelybe végtelen számú golyó fér, és van végtelen számú golyó. (Igen, még mindig a logikai lehetőség érdekel.) Megint 11:59 van, s a feladatod az, hogy beteszel 10 golyót az urnába, és kiveszel 1 golyót. Ezt először 1/2 perc múlva kell megtenned, aztán 1/4 perc múlva, aztán 1/8 perc múlva, … Hány golyó lesz az urnában pontban éjfélkor? Erre két egyformán jó válasz lehetséges. Az első: minden egyes lépésben kilenccel növekszik a golyók száma. Mivel végtelen számú lépés van, a golyók száma 9 x végtelen, vagyis végtelen. A második: mivel végtelen számú lépés van, minden egyes golyóra áll, hogy valamelyik lépésben kiszedjük az urnából. Mivel valamennyi golyót kiszedjük, éjfélkor egyetlen golyó sem lesz az urnában. A végtelen nem egyenlő nullával, ezért az a feltevés, hogy a szuperfeladat elvégezhető, ellentmondáshoz vezet.

De ha 1 métert megtenni szuperfeladat, és a szuperfeladatok elvégzése logikailag lehetetlen, akkor nem szállhatsz fel a buszra. Úgyhogy sürgősen találj ki valamit, különben lemaradsz.

 

Zénón, James F. Thomson és Sheldon Ross nyomán

3 hozzászólás

  1. Baksa István
    aug 24, 2013

    Ami Thompson lámpáját illeti: szerintem azt kérdezni, hogy a lámpa égni fog-e éjfélkor vagy nem, az épp olyan, mintha a Zénón-féle paradoxonnál azt kérdeznénk, hogy a végtelen sor utolsó tagjánál a kettő kitevője páros lesz vagy páratlan. Ezt nem lehet megválaszolni, mert a végtelen sornak nincs utolsó tagja.

  2. G
    aug 26, 2013

    A kérdés nem “logikai”. Az egyszerű matematikai válasz az, hogy divergens sorozatnak nincs határértéke. A válasz a határérték és a sorozat fogalmak definícióján is múlik. A bekapcs-kikapcs sorozat kikapcs-bekapcs sorozattal összegezve egy jobban kezelhető eredményhez vezet: ekkor a határértékre 1/2 adódik (félig ég a lámpa). Ez a megközelítés általában is jól működik a véges szélsőértékekkel rendelkező de divergens sorozatoknál. A második példa nehezebb ott végtelen szélsőértékekkel kell megküzdeni. A 9 x végtelen a kezelhetőbb válasz.

    “Ne törődjünk azzal, hogy nem tudunk akármilyen gyorsan gombokat nyomogatni; a logikai lehetőség érdekel, nem a fiziológiai.” Azért azt a fizikai megjegyzést tegyük hozzá, hogy az extrém rövid idők és távolságok tartományában kvantumjelenségekkel fogunk találkozni, tehát nem lehet tetszőlegesen kis idő és elmozdulás, ezért bizonyos valószínűséggel vagy bekapcsolt vagy kikapcsolt állapotban lesz a kvantumlámpánk az “utolsó” kvantumidőszeletben – így ellentmondás sincs.

  3. ipartelep
    aug 26, 2013

    Hányféle ellentmondás van az említett példákban? Aszerint, hogy mi mond ellent minek, kettőféle: a. A Zénón paradoxonban a modell (az elmélet) mond ellent a gyakorlatnak. Itt rém egyszerű a helyzet: A gyakorlat az “biztosan jó”, az ki van próbálva. Ha az elmélet nem tudja helyesen leírni, modellezni a gyakorlatot, akkor csak az elmélet lehet a hibás. És lőn, a későbbi idők elmélete (matematikája) meg is magyarázta, hogy mi volt a baj a korábbi elmélettel.
    b. Van egy olyan feladat (a lámpás), amelyet a gyakorlatban lehetetlen kivitelezni. Tehát, itt csak az elmélet két lehetséges kimenetele mondhat ellent egymásnak. A kérdés az, hogy melyik verzió az igaz, vagy a helyes. Furcsa kérdés ez. Gondoljunk csak bele: Ha egy kérdés teljesen elméleti, akkor annak miféle “igazsága” lehet? Milyen jellegű igazsága van azoknak a dolgoknak, amelyek nem a gyakorlatban fordulnak elő? Milyen lehet az az igazság, amely nem faktuális igazság? A faktuális igazságokat úgy “képezzük”, hogy megismerjük azt a tényt, amely alkotja őket. No de ha nincs ilyen tény, egyszerűen azért, mert az egész nem létezhet a valóságban, hanem csak egy elméleti konstrukció? Akkor mi a helyzet az igazságával? Ez egy nagyon is filozófiai kérdés , akár logikai is, bár szerintem inkább ismeretelméleti. A válasz rá a következő: A nem faktuális igazságok (vagyis a nem korrespondencia alapúak), azok magából a rendszerből, az elméletből, az őket tartalmazó modellből következnek. Mivel semennyire nem reflektálnak a valóságra, a külvilág tényeire (hiszen megvalósíthatatlanok), ezért az igazságuk csak a belső konzisztencia függvénye. (Bár ezt a fajta igazságelvet “koherencia elv”-nek hívják, szerintem helyesebb a “konzisztencia elv” kifejezés.) Tehát ez a fajta igazság a rendszeren, a modellen belül lesz levezethető. Innentől “szakmai ügy” az egész. Ha a matematika azt mondja, hogy egy ilyen modellnek ez a vége, ez a következménye, akkor az az “igaz”, ha meg azt mondja, hogy amaz, akkor az.
    c. A b pontban mondottak lényege itt is érvényes. A különbség csak annyi, hogy itt a kétféle elméleti (mert gyakorlati itt sem lehetséges) megoldáskísérlet közül a második biztosan nem helyes (mindenféle logikának, és matematikának ellentmond). Emiatt nincs is igazi ellentmondás a kétféle megoldás között. Vagyis olyan ellentmondás itt nincs, amely nem tűnik fel- vagy megoldhatónak.

    Tehát, végső soron: Ha az elmélet mond ellent a gyakorlatnak, akkor ott csak az elmélet lehet hibás. Ha a különböző elméletek ellentmondásosak, és elvileg nincs gyakorlati próba, akkor az elméletek konzisztenciája dönti el, hogy melyik a helyes (igaz). Ez pedig szakmai, jelen esetben (a két utolsó példáéban) matematikai kérdés.

Submit a Comment

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.