Bejuthatunk-e a mennyországba kalappal a fejünkön?

A mennyország bejárata előtt hosszú sor áll, a veszekedések elkerülése végett mindenkinek sorszáma van. A sorban álláskor pedig be kell tartani egy szigorú szabályt. Szent Péter ugyanis csak akkor nyitja ki a kaput, ha az alábbi feltétel teljesül:

Bárkinek a fején akkor és csak akkor van kalap, ha mögötte senkinek nincs a fején kalap.

Ha a bejárat előtti sor csak véges hosszú, és ha a sorban állók életükben jól megtanulták a logikát és betartják a szabályokat, Péternek lesz dolga a kapuval.

heaven

Mi a helyzet akkor, ha csak egyetlen ember áll a kapu előtt? Emberünk így okoskodhat: ha állna egy kalapos ember mögöttem, akkor nem tehetném föl a kalapomat, de mivel senki sem áll mögöttem, , ezért föl kell tegyem a kalapomat.

Mi a helyzet ha ketten állnak a sorban? Az utolsó ember most is az iménti módon okoskodik, tehát kalap van a fején. Ekkor viszont az előtte álló hajadonfőtt marad, mert van mögötte kalapos ember. Három ember esetén, az első kettő fején nem lesz kalap, csak az az utolsóén. Mindezt így ábrázolhatjuk:

@

_ @

_ _ @

Lehetséges-e az alábbi eset?

_ @ @

Nem. hiszen  a másodikon csak akkor lehetne kalap, ha mögötte senkin sincs kalap.

Egy napon a gonosz szellem elhatározta, hogy lerombolja a mennyországot. Úgy okoskodott, ha végtelen sok lelket kell beengedniük, a menny megtelik, és minden összedől. Így is tett. Bűvös varázslattal végtelen hosszú sort állított a kapu elé, olyan hosszút, hogy még Szent Péter sem látta a végét, pedig jó szeme volt. Semmiképp nem láthatta, mert a sornak nem volt vége, azaz nem volt legutolsó a sorban. És ahogy illik, a végtelen sorban mindenki követte a szabályt. Mi történt? Ki kellett-e nyissa a kaput? Kinek volt kalap a fején, és kinek nem?

Alkalmazzuk a szabályt miden sorban állóra nézve:

Pontosan akkor van kalap van a fejemen, ha mögöttem senki fején nincs kalap.

A feltételnek kivétel nélkül mindenkire teljesülnie kell, nem a lehet a kalapot félig fölvenni vagy folyamatosan föl-le hajigálni.  Péter csak akkor néz ki a kisablakon, amikor mindenki megnyugodott, csend van, senki sem vitatkozik a mögötte állóval, nem emelgeti a kalapját, vagyis kialakult a végső rend.

Tegyük fel, hogy a végtelen sorban senkinek sincs kalap a fején. Ekkor a kapu előtt állónak  föl kell tennie a kalapját, hiszen teljesül a feltétel, senkinek sincs mögötte kalap a fején. Most vegyük a második bebocsátásra várót. Neki fel kell tennie a kalapját? Igen, mivel mögötte senkinek sincs kalap a fején. Ekkor viszont az előtte állónak le kell vennie a kalapját, mert van mögötte kalapos. Ekkor jön a harmadik a sorban. Mivel mögötte senkinek sincs kalap a fején, fölteszi a kalapot. Csakhogy erre az előtte álló kettőnek le kell vennie, mert van mögöttük kalapos. Bármilyen hátrább álló hasonlóképpen okoskodhat. Fölveszi a kalapot, mert mögötte senkin nincs kalap, viszont ekkor az előtte állóknak le kell venniük. Így végül oda lyukadunk ki, hogy semelyik sorban álló sem veheti föl a kalapot, tehát senkinek a fején nincs kalap. Ezzel azonban visszajutottunk a kiinduló állapothoz, az ajtó előtt álló fölveszi a kalapot.

Mi lesz ennek a vége? Kinyitja-e Péter a kaput a végtelen sor előtt?

Stephen Yablo nyomán

13 hozzászólás

  1. ipartelep
    Már 28, 2015

    A blog hosszú történetében (az egészet olvastam) először járok úgy, hogy rossznak, értelmetlennek tartom már a probléma megfogalmazását is.
    Eddig azt hittem, hogy meglehetősen jól “bírom” a magyar nyelvet. De én ezt a “feltételt” egyszerűen nem értem, pontosabban nem tartom feltételnek: “Bárkinek a fején akkor és csak akkor van kalap, ha mögötte senkinek nincs a fején kalap.” Ennek a mondatnak egyszerűen nincs értelme. Ez mitől feltétel? nem úgy kellene ezt megfogalmazni, hogy: “Bárkinek a fején akkor és csak akkor _lehet_ kalap, ha mögötte senkinek nincs a fején kalap.”? Ez szőrszálhasogatásnak tűnhet, de szerintem ha valami már az elején értelmetlen, akkor ott nincs miről tovább beszélni.
    Na most akkor nézzük, mikor nyílik ki az a kapu. A példa nyilván azt akarja mondani (csak nem azt mondja), hogy akkor, ha teljesül az a feltétel, hogy ha valakinek van kalap a fején, akkor a mögötte levőknek a fején nincs kalap. Arról viszont nem szól a fáma, hogy mi van akkor, ha senkinek sincs kalap a fején. Hiszen a feltétel nem azt mondja, hogy legalább egy kalapnak mindenképpen kell valakinek a fején lenni, hanem úgy szól, hogy ha van valakinek a fején kalap, akkor a mögötte levők fején már nem lehet kalap.

    Én nagyon megértem, hogy a példa írója nem ezt akarta ebből kihozni. De nehéz a paradoxongyártók élete, ugyanis, mint ahogy azt már sokszor megbeszéltük (én leírtam) nincsenek is igazi paradoxonok (ellentmondások), hanem csak a tudásunk hiányai vannak, ahova “betörnek” a paradoxonok. És így paradoxonokat leginkább csak ilyen nyelvi fondorlatokkal, elhallgatott, elsikált logikai bakugrásokkal lehet gyártani. Olyasmikkel amiket a figyelmetlen, tájékozatlan versenyzők nem ismernek, vagy nem jönnek rá a megfejtésre.

    Vissza: A “Bárkinek a fején akkor és csak akkor _lehet_ kalap, ha mögötte senkinek nincs a fején kalap” feltétel azt jelenti, hogy ez akkor is teljesül, ha a sorban senkinek a fején nincs kalap, és akkor is, ha _egyetlen egy_ kalap van végtelen sort feltételezve, a _sorban bárhol_.

    Vagyis sokat nem kel gondolkodni a feltétel teljesítésén, legfeljebb Péternek azon, hogy legközelebb jobban fogalmazza meg a belépési feltételt.

    • fogkefe
      ápr 9, 2015

      A “lehet” és a “van” két külön dolgot jelent. Ha valami lehet, nem biztos, hogy van.

      Ha van, akkor az van, és kész.

      “Akkor és csak akkor van X dolog, ha Y” matematikában gyakran használt fogalom. Ez azt jelenti, hogy ha teljesül Y, akkor van X, és ha nem teljesül Y, akkor nincs X. Ahogy mások is írták, ez egy logikai művelet.
      Kicsit máshogy fogalmazva: Vagy mindkettő dolog egyszerre teljesül, vagy egyik sem. Olyan, hogy csak az egyik teljesül, nincsen.

      Az, hogy ez mennyire illeszkedik a magyar nyelv egyéb szabályaira, és mennyire nem, szerintem nem releváns, mivel szófordulatról van szó.

  2. ipartelep
    Már 28, 2015

    Még valamit, mert a példa nyilván nem arról szól, hogy milyen trükkel lehet bejutni a mennyországba. Utólag a blogposzt utalása (“Stephen Yablo nyomán”) miatt megnéztem ezt a Yablo paradoxont. A megfejtése egészen egyszerű:
    A (1) “a következő kijelentések mindegyike hamis.” mondatsor (az (1) ismétlődik a végtelenségig) mondatai _nem állítások_. Ugye, paradoxon csak attól- és akkor lenne a mondat, ha az így, meg az amúgy kalkulált igazságértéke egyszer ez (igaz), egyszer meg amaz (hamis) lenne, vagyis ellentmondás lépne fel. De ha egy mondatnak nincs igazságértéke, akkor ott nem lesz paradoxon, nincs minek ellentmondani.
    Márpedig a fenti mondat, logikai értelemben nem állítás. Azért nem az, mert nem lehet megállapítani az igazságértékét, sem analitikus, sem szintetikus módon. Az előző mondat mindig egy ugyanolyan mondatra referál mint saját maga. Ezek a mondatok sem valami külső dologról nem mondanak semmit (amely jellemzőit aztán lehetne mérlegelni), sem analitikus módon nem mérlegelhető az igazságértékük, hiszen logikailag csak annyit mondanak, hogy “valami hamis”, de az a valami (a következő mondat, ami ugyanaz mint az előző) megint csak nem állít semmi konkrétumot, hanem csak ugyanezt. Ez gyakorlatilag egy rejtett, vagyis egy lépéssel eltolt önreferáló mondat, ami éppen ezért csak saját magára vonatkozik, vagyis nem állít semmit.

    Nincsenek paradoxonok, csak kevés gondolkodás van.

    • Maimonidesz
      Már 30, 2015

      Javasolom, hogy tanulmányozd az “akkor és csak akkor” igazságtáblázatát, s ha ezt megteszed, akkor… akkor talán megérted, hogy miért a “van” szó szerepel a post-ban…

  3. ipartelep
    ápr 10, 2015

    A bikondicionális állítások (fogadjuk el, hogy ez egy bikondicionális) életbeli alkalmazásával az a baj, hogy ezek a mondatok gyakran “életidegenek”. Ez a gyakorlatban három dolgot jelent: 1. Nem írják le, nem ábrázolják a helyzetet helyesen, vagy pontosan 2. túl absztraktak, nem elég konkrétak, 3. Nem érthetőek, nem lehet tudni pontosan, hogy “mit akart velük a költő mondani”. Ugye, a kommunikációnak leginkább akkor van értelme, ha az érthető. Viszont ha olyan nyelv- és mindennapi használatidegen mondatok vannak benne, amelyek jelentése, és értelme legalábbis kérdéses, vagy erősen vitatható, akkor a költő gondolhat bármit, az olvasó nem azt fogja gondolni.
    Éppen ezért, az ilyen élet- és használatidegen (mint a bikondicionális) mondatok köznapi, vagyis nem absztrakt logikai környezetben való használatánál nem árt kiegészíteni a mondatot. Így: a miheztartás végett most egy bikondicionális (összetett) mondat következik, annak a logikai velejáróival.

    Hát akkor legyen… A “Bárkinek a fején akkor és csak akkor van kalap, ha mögötte senkinek nincs a fején kalap.” összetett mondat akkor lesz igaz, ha a _részmondatai igazságértéke megegyező_. Vagyis, vagy mind a kettő részmondat igaz, vagy mind a kettő hamis.
    Mik ezek a részmondatok?: (1) Bárkinek a fején van kalap, és (2) A mögötte állók közül senkinek nincs a fején kalap.
    Viszont ez a két állítás itt (ebben bikondicionálisban) nem lehet egyszerre sem igaz, sem hamis. Ez pedig azt jelenti, hogy ez a bikondicionális összetett mondat semmiképpen nem lehet igaz.
    Azért nem lehet igaz, mert a két részmondata ellentmond egymásnak.

    Vagyis a példában Péter (a huncut portás) egy olyan feltételt fogalmazott meg (a nyelv megengedi) amely sehogy sem teljesülhet. Logikailag lehetetlen feltétel.

    A példa absztraktabb módon, lecsupaszítva leírva ez: Ha A, akkor és csak akkor, nem A. Ez nyilvánvaló önellentmondás. A példa önellentmondása azért nem ennyire nyilvánvaló, mert a “helyzet” elfedi azt. Az ellentmondás felfedéséhez vagy le kell játszani, modellezni kell a helyzetet, meg kell nézni, hogy hogyan jöhetne ki a játék – nyilván sehogy. Vagy pedig, ha tisztáztuk a szabályokat (hogy pl. itt egy bikoncicionális mondatot mond a költő), akkor szétszedjük azt, és megnézzük, hogy hogyan felel meg az igazságszabályoknak.

    Implicit, rejtett önellentmondó (analitikusan, vagy faktuálisan) bikondicionális mondatokat sokat lehetne gyártani. Ugyanis, a bikondicionális bizonyos értelemben ekvivalenciát is jelent a két részmondat állítása között. És ha ez az ekvivalencia nem áll fenn, de ez nem nyilvánvaló, mert a körülmények, a fogalmazás elfedi azt, akkor előbb meg kell érteni pontosan, hogy mi is a jelentése a mondatnak, és hogyan működik az. A nyelv megengedi az ilyen becsapósdit, mert a nyelv sokkal rugalmasabb, megengedőbb (és pontatlanabb, slendriánabb), mint a logika, amely kötött szabályokkal operál. Ez történt itt.

    • szt Péter
      ápr 10, 2015

      Hosszú litániák helyett próbáld meg véges tartományon ábrázolni a függvényt, pl. 1 2 3 4 5 legyen 1 = kalapos 0 = hajadonfőtt. Ekkor a logikai függvényeket kis tehetséggel aritmetikaivá lehet alakítani, és ez jön ki: 1=f(5) 0=f(4)=1-f(5) 0=f(3)=(1-f(4))*(1-f(5)) 0=f(2)=(1-f(3))*(1-f(4))*(1-f(5)) 0=f(1)=(1-f(2))*(1-f(3))*(1-f(4))*(1-f(5)) A helyes általános képlet fölírását rád hagyom. Utána gondold végig ha nincs maximális elem, mert a tartomány végetlen.

      • ipartelep
        ápr 11, 2015

        Kedves Szent Péter! A filozófiában nyilván nincs szükség “hosszú litániákra”, hiszen a filozófiai problémákra (és erre a szóban forgóra is) tipikusan az jellemző, hogy formalizálhatóak, így néhány képlettel is felírhatóak. Bocs, hogy “litáníáztam”.
        Én azonban még ilyen megrögzött régimódi, párbeszéd- és litánia centrikus vagyok. El tudnád mondani nekem néhány mondatban, hogy egészen konkétan mivel nem értesz egyet abból, amit az Ipartelep ÁPR 10, 2015-ös hsz-emben írtam?

  4. szt Péter
    ápr 11, 2015

    Szívesen, csak egy mondatot emelek ki a sok lehetséges közül. Ezt írod: ” …Viszont ez a két állítás itt (ebben bikondicionálisban) nem lehet egyszerre sem igaz, sem hamis.” Nem így van, próbálj meg egy kicsit matematikus fejjel gondolkozni. Ott kéne elkezdeni, amit előbb írtam. Pl. végiggondolni, hogy a korábbi példában miért 1=f(5)? És hogy jön ki a többi? – amit leírtam, de talán nem elég részletesen. Ne haragudj, de akkor van értelme folytatni, ha előállsz egy megfelelő képlettel. Több megoldás is van. Érdemes végiggondolni, hogy összeadásokkal is felírható a sorozat, csak úgy trükkösebb, nehezebb. Persze nem a képlet a lényeg, szavakkal is elmondhatod. Ezt írtad “Nincsenek paradoxonok, csak kevés gondolkodás van.” Igazad van jelen esetben, Hic Rhodus, hic salta. Üdv, és jó hétvégét.

  5. szt Péter
    ápr 11, 2015

    Most látom, hogy nem egész jól írtam nagy hirtelenjében. Akkor nem igaz, hogy nem lehet egyszerre igaz vagy hamis a két oldala a példának, ha olyan tartományon vizsgáljuk, aminek VAN maximális eleme. A természetes számok véges halmazai ilyenek nagyság szerint rendezve. Ezért írtam az ötelemű példát. Ha a tartomány végetlen – és nincs maximális elem! – akkor viszont a helyzet bonyolódik. Ekkor tényleg ellentmondás vezethető le a föltevésből, amiből persze nem következik, hogy a föltevés – azaz a példa – értelmetlen. Lásd a középiskolában tanult némelyik bizonyítást amelyik erre épül. pl. hogy nincsen legnagyobb prím szám. És nyilvánvaló, hogy ekkor összefügg a bikondicionális két oldala. Így már remélem érthető, nem is olyan egyszerű ez. Ezért érdekes. üdv.

  6. ipartelep
    ápr 12, 2015

    Akkor, ha jól értem amit mondasz, szerinted a feltételként alkalmazott összetett állítás ( (1) “Bárkinek a fején akkor és csak akkor van kalap, ha mögötte senkinek nincs a fején kalap.”) igazságértéke _attól függő lesz_, hogy a sor, amelyre alkalmazzuk, véges- vagy végtelen-e. Éspedig úgy függ ettől -mondod te -, hogyha a sor véges, akkor nem lehet önellentmondás a bikondicionális két fele között, ha viszont a sor végtelen, akkor van köztük ellentmondás.

    Amit én mondok (és az ellentmond ennek), az pedig az, hogy ez az ellentmondás _nem függ a sor hosszától_, attól, hogy az végtelen-e. Mindenképpen önellentmondásos az (1) mondat, akár véges, akár végtelen a sor.
    Ugyanis az ellentmondás már mindjárt az első két elemnél előáll, és utána már nem “törlődik”. Mint ahogy egyébként ezt te(?) is nagyon szépen leírtad a blogposztodban: Az első még felveheti a kalapot, ha utána senkin sincs, viszont ahogy a másodikhoz érünk, már előjön az ellentmondás: egyrészt neki is fel kéne tenni a kalapot, mert az utána következőkön nincs, viszont akkor az előtte levőnek meg le kell vennie. Bármelyik kettőst, illetve hármast is nézzük a sorban, egyik sem tud egyszerre megfelelni ennek a két feltételnek. És ezen nem változtat az, hogy a sor véges, vagy végtelen-e, hiszen az ellentmondás már két elemnél is fennáll, és utána azt nem szünteti meg az a körülmény, hogy az elemek száma végtelen, hiszen bárhova is megyünk a sorban, bármelyik elemekhez (a végtelen felé), mindenütt ugyanez az ellentmondás áll fenn.

    Na most erre persze ki lehet találni egy absztrakt jelölési megoldást is, azonban nem látom be, hogy az mennyiben lenne érthetőbb. Éppenséggel érthetetlenebb lenne, mint így szóban elbeszélve, ezért nincs értelme fáradozni vele.

    Abban persze egyetértek veled, hogy a filozófiai problémák, és ez is, általában bonyolultak. Ez azért van (most jön a litánia része!), mert minél mélyebben megyünk bele valaminek a részleteibe (és a filozófia pont ezt kívánja meg), annál jobban, közelebbről tárulnak fel a dolog összefüggései. A filozófia nagy része elkerülhetetlenül áll abból a litániából, amely ezeket a bonyolult összefüggéseket magyarázza, érthetővé teszi, kontextusba helyezi. Így természetesen vicceltem egy korábbi hsz-omban, amikor azt írtam, hogy a “filozófiai problémák néhány képlettel felírhatóak”. Tipikusan nem ez a helyzet. hanem éppen hogy az, hogy a filozófiában általában már az alapokban is nézeteltérés van, és olyasmiken vitatkoznak a felek a felépítményen, amiket azért nem tudnak közös nevezőre hozni, mert már a fogalmaik tartalma is eltér.

    Persze azt nem gondolom, hogy köztünk ilyen nagy difi lenne (van akivel van), de azt igen, hogy valamennyi “litánia” egyenesen elengedhetetlen a minimális megértés érdekében, és azt is, hogy a litánia a filozófia immanens velejárója, fontos része, és módszere.

    • Maimonidesz
      ápr 12, 2015

      Azt írod: “Az első még felveheti a kalapot, ha utána senkin sincs, viszont ahogy a másodikhoz érünk, már előjön az ellentmondás: egyrészt neki is fel kéne tenni a kalapot, mert az utána következőkön nincs, viszont akkor az előtte levőnek meg le kell vennie.”

      Tévedsz, ellentmondás nincs, hiszen itt “leáll” a dolog: az elsőn nincs kalap (mert az utána következők mindegyikén van kalap), a másodiknak kalap van a fején, mert “utána” senkinek nincs kalap a fején – és kész… Hasonlóképpen minden véges sor esetén. (A poszt ezt értelmesen le is írja, én csak megismétlem…)

      • Maimonidesz
        ápr 13, 2015

        Bocs, elírtam: “mindegyikén” helyett, helyesen: “valamelyikén”

  7. ipartelep
    máj 3, 2015

    Azt hiszem, tévedtem a feladvány megoldásában. Vagyis abban, hogy véges- és végtelen sor esetén is ugyanaz a megoldás. Nem ugyanaz. Véges sor esetén az a megoldás, hogy az utolsó fején lesz, és lehet csak kalap (a játékszabálynak megfelelően). Végtelen sor esetén pedig nincs megoldás, hiszen a végtelen sornak nincs utolsó embere.

    A kérdés persze igazából az, hogy filozófiai szempontból ennek a feladványnak mi az értelme, a tanulsága, a mondanivalója. Mert az a “tanulság”, hogy egy végtelen sor máshogy viselkedik valamely szempontból mint egy véges, az nem filozófiai, hanem egy matematikai tanulság. A végtelen, az egy absztrakt matematikai fogalom, a matek jól eljátszadozik vele, de a filozófia nem sokat tud kezdeni vele.

    Talán az lehet egy tanulság, hogy a végtelen fogalmának alkalmazásával lehet gyártani mindenféle paradoxon-szerűségeket. Ez azért van, mert a matekon kívül a végtelen fogalma nem definiált pontosan. Mivel a tapasztalatainkban nincsenek végtelenek (a fizikai világban nem tapasztalunk olyat), nem tudjuk elképzelni azt, pontosabban nem tudjuk mihez kötni, nem tudjuk kezelni a fogalmat.

    Tanulság 2: Ha a fizikai világban nincs végtelen (ezt nem tudjuk, de igazából még csak fel sem fogjuk), akkor egyszerűen halandzsa az, ha bármilyen, nem matematikai, vagyis teljesen absztrakt-deduktív rendszerben használjuk ezt a fogalmat. Nincs értelme…

Submit a Comment

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.