Ha igaz a matek, honnan tudhatjuk?

Íme két széles körben elfogadott megállapítás a matematikáról.

(1)       A matematikai mondatok igazsága, ugyanúgy mint a többi mondat igazsága, a mondat szerkezetén, a benne szerepelő szavak jelentésén és a tényeken múlik.

(2)       Van matematikai tudásunk. Valóban tudjuk, hogy 2+2=4, hogy végtelen sok természetes szám van, stb.

Vajon lehet-e mind a kettő igaz?

Kezdjük (1)-gyel. Vegyünk egy közönséges és egy matematikai mondatot.

(a)        Van olyan nagyváros, amely régebbi New Yorknál.

(b)       Van olyan tökéletes szám, amely nagyobb 17-nél.

Mindkét mondat szerkezete az alábbi sémát követi:

Van olyan FG, amely R viszonyban áll a-val.

Az ilyen szerkezetű mondatok abban az esetben igazak, ha az F tulajdonságú G-k valamelyike R viszonyban van egy bizonyos a dologgal. A különbség a két mondat között csak annyi, hogy az (a)-ban és (b)-ben szereplő szavak más tulajdonságokat, viszonyokat és dolgokat jelölnek.

benacerraf1 De ez a különbség fontos: a matematikai dolgok és tulajdonságok absztraktak szemben a közönséges dolgokkal. Nincs téridőbeli pozíciójuk, és nem vesznek részt oksági kapcsolatokban. Az 5 nincs sem Pesten, sem Budán, sem Európában, sem Amerikában. Az 5 nem eszik és nem iszik, de őt sem eszik vagy isszák. Amit pedig fel lehet írni a táblára és le lehet törölni a tábláról, az nem az 5, hanem az 5-öt jelölő jel.

Térjünk rá (2)-re. Elég nyilvánvalónak tűnik, hogy a tudás megszerzéséhez megfelelő képességekre van szükség. A megismerési képességek kialakulását evolúciós úton magyarázzuk. Fejlett térlátásunk akkor alakult ki, amikor még a fák ágai között ugrándoztunk. Aki jobban becsülte meg a távolságokat, nem pottyant le, előbb érte el a banánt, stb., s így inkább hagyott hátra utódokat. Így a szelekciós nyomások a jobb térlátás irányába kormányozták azt a főemlős populációt, amelyből származunk. Persze ez még inkább csak egy magyarázat vázlata, s talán nem is ez a helyes magyarázat, de mindenesetre ilyen jellegű magyarázatra van szükség.

Csakhogy (1) nyomán oda jutottunk, hogy a matematikai mondatokat a számok, és hasonló absztrakt entitások viszonyai teszik igazzá. Nehéz elképzelni, hogy az absztrakt entitások megismerésére való képesség miféle evolúciós előnnyel járna. Egy számot nem lehet megenni, egy számmal nem lehet párzani, bár nem is fal fel bennünket.benacerraf2

Erre azt felelhetnénk, hogy legtöbb megismerési képességünk nem kecsegtet ilyen közvetlen haszonnal, hanem csak sok áttételen keresztül növeli evolúciós rátermettségünket. Pl. ha jobb vagy a hazugságok felismerésében, nagyobb valószínűséggel teszel szert magasabb státuszra a csoportban, ami anyagi előnyökkel jár. Mivel az anyagi előnyök vonzóbb partnerré tesznek, nagyobb valószínűséggel lesznek utódaid. A matematikai képességek esetében azonban ezeket az áttételeket is nehéz elképzelni. (Persze, ha jó vagy matekból, nagyobb valószínűséggel leszel bankigazgató – de hát hol voltak még bankok, amikor matematikai képességeink kifejlődtek!)

Azt is felelhetnénk, hogy a matematikai megismerés nem sajátos képességeken alapul, hanem olyan megismerési képességeken, amelyeknek igenis megvan a maga evolúciós haszna. De hát miféle megismerési képességeken? Az olyan, a tudományos megismerés során kihasznált képességeknek, mint az általános mintázatok és szabályszerűségek megragadása vagy az oksági hipotézisek felállítására való képesség, meglehet a maguk evolúciós haszna, de a matematika jelentős részben nem ilyen képességeken alapul.

Vagyis, ha alaposan utána gondolunk (1)-nek és (2)-nek, elég rejtélyesnek tűnik, hogyan lehetnek egyszerre igazak. Akkor feladjuk valamelyiket? Vagy mégis van mód az összeegyeztetésükre. Na, mit gondolsz?

Paul Benacerraf és Hartry Field nyomán

1 Comment

  1. alala
    Sze 27, 2016

    (1) Itt van egy alapvető félreértés. A matematika nem az, ami a papíron megjelenik (pl. képletek). Az CSAK a matematika leírása. A matematika nem ott létezik,
    hanem az emberek “fejében”. A leírás lehet rossz, de attól még a matematika igaz. Pl. én láttam olyat többször, hogy vki hibásan írta le a matematikai gondolatát,
    de szinte azonnal világos volt, hogy mire gondol és az helyes volt.
    Hadd mondjak még egy hasonlatot: vki bemegy egy étterembe, kap egy étlapot, látja rajta azt, hogy “sült burgonya” és erre megpróbálja megenni az étlapot.
    A “sült borgonya” az csak egy jel sorozat, ami vkinek jelent vmit, másnak meg esetleg mást. A matematikai jelsorozatok a papíron pont ugyanilyenek. Az számít, hogy
    az egyes embernek mit jelentenek. És bármilyen furcsán is hangzik, lehetnek eltérések, habár a matematika óriási hangsúlyt fektet arra, hogy ezt minimalizálja.

    (2) Azt hogy 2+2=4 azt bizonyítani szokták a matematikában (az axiómákból). És a matematika bármilyen alkalmazása meg úgy van elképzelve, hogy ha vki az alapfogalmakat
    és az alapfogalmak közti relációkat rá tudja vetíteni a valóság vmely részére, akkor az emléletben bizonyított minden tétel is igaz lesz a valóság azon részére.

    Igazság szerint ezek után nem értem a problémád.

    Azt meg végképp nem, hogy az evolúciós kérdéskör, hogy jött a képbe. De ha már itt tartunk: a matematikai képességünk nyílván csak egy melléktermék. Nem ez volt az evolúció “célja”.
    A biológusok azt mondják, hogy a társas/csoportos lét miatt lettünk ilyen okosak. Ugyanis a létező legbonyolultabb dolog az az, hogy a másik ember hogy fog majd egy adott szitúációban viselkedni.
    Aki ezt ügyesen tudta modellezni, az hatalmas evoluciós előnyre tett szert.
    Mondanék egy hasonlatott: az hogy meg tudjuk fogni a tollat az egy melléktermék. Az evolució sosem “hajtott” arra, hogy ez sikerüljön. Nem ment abba az irányba sose,
    hogy milyen hasznos lesz, ha tudunk majd írni. Dehogy. A szembefordítható új az hatalmas evoluciós előny volt. A toll megfogása meg egy hasznos mellékhatás.

Submit a Comment

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.