Mit nem tud Lois Lane?

Bár már jó ideje nem vetítik a mozik, azért biztosan emlékszel lois-laneSuperman és Lois Lane történetére. Lois Lane a Daily Planet vagány és tehetséges riporternője, aki napközben együtt dolgozik egy Clark Kent nevezetű újságíróval. Lois Lane úgy gondolja, hogy

(1) Clark Kent meglehetősen unalmas.

Csakhogy

(2) Clark Kent azonos Supermannel.

Az azonosságra vonatkozó legalapvetőbb logikai szabály szerint, ha két dolog azonos egymással, akkor ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek. (Ha Géza azonos a portással és Géza kopasz, akkor a portás kopasz.) Így (1)-ből és (2)-ből logikailag következik, hogy

(3) Superman meglehetősen unalmas.

Lois Lane azonban cseppet sem fogadja el (3)-at, sőt nagyon is odavan Supermanért. Lois nem azért utasítja el (3)-at, mert képtelen elemi következtetések levonására, vagy hogy éppenséggel az unalmas fickókhoz vonzódik, hanem, mert nem tudja (2)-t. Eddig rendben is volnánk.

De ha jobban belegondolunk, nem is olyan könnyű megérteni, hogy miféle tudás az, aminek Lois Lane híján van. Az olyan kijelentések, hogy

(4) Superman azonos Supermannel

(5) Clark Kent azonos Clark Kenttel

tautológiák, amelyeknek semmi információtartalmuk nincs. Ezeket Lois Lane természetesen tudja.

File written by Adobe Photoshop? 5.0

File written by Adobe Photoshop? 5.0

(2) azonban nem tautológia, van információtartalma. De miben áll (2) információtöbblete (4)-hez vagy (5)-höz képest?

Első látásra talán azt gondolnánk, hogy (2) valójában azt fejezi ki, hogy a „Clark Kent” és a „Superman” kifejezések ugyanazt jelentik. Csakhogy ahhoz, hogy Lois Lane rájöjjön (2)-re nem a szavak jelentését kell vizsgálnia, hanem Clark Kent és Superman viselkedését. (Hogy a csudában van az, hogy amikor Clark Kenttel vagyok, és bajba kerülök, Clark mindig eltűnik, és egy pillanattal később már érkezik is Superman, hogy szétrúgja a rosszfiúk hátsóját?) Vagy hogy másik példát mondjunk: ahhoz, hogy megtudjuk, hogy

(6) 35 = 243,

nem a szavak jelentését kell vizsgálnunk, hanem számolnunk kell. Vagy ahhoz, hogy az ókoriak rájöjjenek, hogy

(7) Hespherus = Phosphorus

az égboltot kellett fürkészniük, nem a szótárat. Ahhoz, hogy (2)-t, (6)-ot vagy (7)-et tudjuk, nem elég a szavak jelentését ismernünk, mert személyekkel, számokkal illetve égitestekkel kapcsolatos, úgymond tárgyi tudást fejeznek ki.

De miben áll ez a bizonyos tárgyi tudás? Abban, hogy egy konkrét valaki (nevezzük akár Clark Kentnek, akár Supermannek) azonos önmagával? De ezt (4) és (5) is kifejezi!

Akkor hát mi is az, amit Lois Lane nem tud? Mi is az az információ, amit (2) kifejez, de (4) és (5) nem?

Nagyon nagy a baj! Superman, segíts!!!

Gottlob Frege nyomán

 

Mennyi 68+57?

Tegyük fel, hogy ezt a konkrét összeadást a történelem során még soha senki nem végezte el. (Ha zavar ez a hamis feltevés, válassz két 200 jegyű számot!) Na és!? – mondod te. Az összeadás szabályait nem befolyásolja, hogy egy konkrét összeadást elvégeztek-e korábban, márpedig e szabályok mindig meghatározzák az eredményt. De vajon biztos ez?addition1

Ám léptessünk színre valakit, akiről tudod, hogy ugyanúgy tud összeadni, mint te – mondjuk egy általános iskolai osztálytársadat. Az illető – nevezzük Kripkensteinnek – azt mondja, hogy 68+57=5.

Na ne izélj már! – feleled. Egyszerűen csak úgy kell elvégezned az összeadást, ahogy mindig is csináltad, és megkapod a helyes eredményt.

Mire Kripkenstein: de hát pontosan ugyanúgy adtam össze ezt a két számot, ahogy bármilyen másik két számot összeadok.

Dehogy is, nem ugyanazt csinálod! – emeled meg a hangot. Nézz ide, írom: 8 meg 7 az 15; leírom az 5-öt, marad 1; 6 meg 5 az 11, meg 1 az 12. Látod? 125.

Kripkenstein értetlenkedve rázza a fejét. Nem! – mondja. 8 meg 7 az 15; leírod az 5-öt; s ezzel végeztél is, mert a 8 előtt 6 áll, a 7 előtt pedig 5; tehát az eredmény 5.

matchesNagy levegőt veszel. – Úgy látszik nem érted. Az összeadás lényegében összeszámlálás. Leszámolok először 68 gyufaszálat. 1, 2, …, 68. Aztán 57-et, így ni. Aztán összetolom a gyufaszálakat, és leszámlálom: 1, 2, …, 125.

Szó sincs róla, válaszolja Kripkenstein, ez nem összeszámlálás. Add csak ide! Azzal akkurátusan leszámol először 68, majd 57 gyufaszálat, összetolja a két halmot, majd leszámlál belőle 5-öt.

De nem! (A szomszéd asztalnál ekkor felkapják a fejüket, a kidobó ember egy lépéssel közelebb húzódik.) Vegyünk valakit, aki soha életében nem tanult matekot. Hagyjuk, hogy megfigyelje, hogyan adunk össze, illetve hogyan számlálunk össze az olyan esetekben, amelyekben nincs köztünk nézetkülönbség. Aztán te is, meg mi is elvégezzük az összeadást 68+57-re. És akkor megkérdezzük ezt a semleges megfigyelőt, hogy melyikünk csinálta ugyanazt, amit korábban, vagyis melyikünk követte a szabályt. Tutira azt fogja minden, hogy én.

Hát az lehet, feleli Kripkenstein, de mit számít ez? Ez csak azt mutatja, hogy az illető a te eljárásodat tartja természetesnek. Ha úgy tetszik, gondolkodási hajlamai inkább a tiédnek felelnek meg. De a kérdés nem az, hogy mit találunk természetesnek, illetve milyenek gondolkodási hajlamaink. A kérdés az, hogy melyik a helyes eredmény. A természetesség irreleváns a helyességre nézve. Például természetes hajlamaink alapján azt mondanánk, hogy több egész szám van, mint páros szám, holott egy fenét.

Ha Kripkensteinnek igaza van, tévedés azt állítani, hogy a szabály az új esetekben is meghatározza az eredményt. Az eddigi gyakorlat többféle módon is kiterjeszthető az új esetekre. Ezek között vannak természetesebbek, de ami bennünket érdekel, az az, hogy melyik a helyes. Melyik az eddigi gyakorlat helyes folytatása, melyik a szabály helyes alkalmazása az új esetben. Ezt pedig semmilyen velünk kapcsolatos múltbeli tény nem határozza meg.

És ez természetesen általánosítható minden szabályra. Azt mondanád, hogy amit most olvastál, az egy blogbejegyzés a magyar nyelv szabályainak megfelelően. De jön Kripkenstein, s azt mondja, hogy ez egy regény… Meg tudnád győzni?

Kripke és Wittgenstein nyomán

Bejuthatunk-e a mennyországba kalappal a fejünkön?

A mennyország bejárata előtt hosszú sor áll, a veszekedések elkerülése végett mindenkinek sorszáma van. A sorban álláskor pedig be kell tartani egy szigorú szabályt. Szent Péter ugyanis csak akkor nyitja ki a kaput, ha az alábbi feltétel teljesül:

Bárkinek a fején akkor és csak akkor van kalap, ha mögötte senkinek nincs a fején kalap.

Ha a bejárat előtti sor csak véges hosszú, és ha a sorban állók életükben jól megtanulták a logikát és betartják a szabályokat, Péternek lesz dolga a kapuval.

heaven

Mi a helyzet akkor, ha csak egyetlen ember áll a kapu előtt? Emberünk így okoskodhat: ha állna egy kalapos ember mögöttem, akkor nem tehetném föl a kalapomat, de mivel senki sem áll mögöttem, , ezért föl kell tegyem a kalapomat.

Mi a helyzet ha ketten állnak a sorban? Az utolsó ember most is az iménti módon okoskodik, tehát kalap van a fején. Ekkor viszont az előtte álló hajadonfőtt marad, mert van mögötte kalapos ember. Három ember esetén, az első kettő fején nem lesz kalap, csak az az utolsóén. Mindezt így ábrázolhatjuk:

@

_ @

_ _ @

Lehetséges-e az alábbi eset?

_ @ @

Nem. hiszen  a másodikon csak akkor lehetne kalap, ha mögötte senkin sincs kalap.

Egy napon a gonosz szellem elhatározta, hogy lerombolja a mennyországot. Úgy okoskodott, ha végtelen sok lelket kell beengedniük, a menny megtelik, és minden összedől. Így is tett. Bűvös varázslattal végtelen hosszú sort állított a kapu elé, olyan hosszút, hogy még Szent Péter sem látta a végét, pedig jó szeme volt. Semmiképp nem láthatta, mert a sornak nem volt vége, azaz nem volt legutolsó a sorban. És ahogy illik, a végtelen sorban mindenki követte a szabályt. Mi történt? Ki kellett-e nyissa a kaput? Kinek volt kalap a fején, és kinek nem?

Alkalmazzuk a szabályt miden sorban állóra nézve:

Pontosan akkor van kalap van a fejemen, ha mögöttem senki fején nincs kalap.

A feltételnek kivétel nélkül mindenkire teljesülnie kell, nem a lehet a kalapot félig fölvenni vagy folyamatosan föl-le hajigálni.  Péter csak akkor néz ki a kisablakon, amikor mindenki megnyugodott, csend van, senki sem vitatkozik a mögötte állóval, nem emelgeti a kalapját, vagyis kialakult a végső rend.

Tegyük fel, hogy a végtelen sorban senkinek sincs kalap a fején. Ekkor a kapu előtt állónak  föl kell tennie a kalapját, hiszen teljesül a feltétel, senkinek sincs mögötte kalap a fején. Most vegyük a második bebocsátásra várót. Neki fel kell tennie a kalapját? Igen, mivel mögötte senkinek sincs kalap a fején. Ekkor viszont az előtte állónak le kell vennie a kalapját, mert van mögötte kalapos. Ekkor jön a harmadik a sorban. Mivel mögötte senkinek sincs kalap a fején, fölteszi a kalapot. Csakhogy erre az előtte álló kettőnek le kell vennie, mert van mögöttük kalapos. Bármilyen hátrább álló hasonlóképpen okoskodhat. Fölveszi a kalapot, mert mögötte senkin nincs kalap, viszont ekkor az előtte állóknak le kell venniük. Így végül oda lyukadunk ki, hogy semelyik sorban álló sem veheti föl a kalapot, tehát senkinek a fején nincs kalap. Ezzel azonban visszajutottunk a kiinduló állapothoz, az ajtó előtt álló fölveszi a kalapot.

Mi lesz ennek a vége? Kinyitja-e Péter a kaput a végtelen sor előtt?

Stephen Yablo nyomán

Három zsák elég?

Tudni való, hogy az emberi mondatokat három zsákban gyűjti az Úristen. Jobb keze mellett vannak az igaz kijelentő mondatok, balján a hamisak, míg a bizonytalan vagy zavaros értelműek a középső zsákba kerülnek. Valamennyi mondat egy papírszeletre kerül, és minden papírszeleten egy jel van, semelyik mondat nem marad ki a jelölésből, és nincs két mondat azonos jellel ellátva, továbbá minden mondat csak egyszer fordul elő. Nem hagyja az Úr, hogy az angyalok tétlenül lóbálják a lábukat a felhők szélén. Bambulás helyett az a dolguk, hogy a középső zsákból kivegyék a homályos értelmű mondatokat, és értelmező megjegyzésekkel ellátva megpróbálják azokat szilárd, világos jelentéssel ellátni. Mikor ez sikerül nekik, a mondat ismét az Úristen színe elé kerül, aki a megfelelő jobb vagy baloldali zsákba helyezi a javított mondatot.

Történt egyszer, hogy Lucifer borsot akart törni az atya orra alá, és azért a következő mondatot csempészte az angyalok elé:

ScreenHunter_04 Sep. 24 20.37Az angyalok elolvasták a cetlit, megértették az abban foglaltakat, hiszen teljesen világos hogy miről szól ez a mondat. Az ördög mondata önmagáról szól. De nem azt állítja, hogy hány betűből áll, vagy hogy milyen nyelven íródott, hanem az igazságáról állít valamit. Valami furcsát, szokatlant mond, ami egyszerűnek és teljesen érthetőnek tűnik, vagy talán valóban az is. Már csak az a kérdés, hogy melyik zsákba kerüljön? Az angyalok néhanapján szerényen odaírták a javaslatukat a cetli hátoldalára, de ez esetben vitatkozni kezdtek egymással, olyan hangosan veszekedtek, hogy fölébresztették a trónusán szunyókáló atyát, aki feddőleg megintette őket: „Ne veszekedjetek, hozzátok csak elém azt a mondatot, majd én eldöntöm a kérdést. Ha valóban teljesen érthető és egyértelmű, amit a mondat mond, akkor bizonyosan vagy igaz, vagy hamis, harmadik eset nem lehetséges.” Így gondolkozott. A mondat igazsága a tényektől függ, és tény az, hogy nem egyértelmű a mondat igazsága, tehát úgy van ahogy mondja. Márpedig ha a valóság úgy van ahogy a mondat mondja, akkor az a mondat igaz, tehát az λ nevű mondat igaz. Várjunk csak, mielőtt betesszük a jobboldali zsákba, hogy is van ez? Ha λ nevű mondat igaz, akkor úgy van ahogy mondja. Márpedig azt mondja, hogy nincs neki vagy csak bizonytalanul van igazsága, márpedig a jobboldali zsákban csak olyan teljesen bizonyos igazságok vannak. Ez a mondat nem ilyen, tehát nem kerülhet a jobboldali zsákba. Akkor pedig a baloldali zsákba kell kerüljön, a hamisak közé, mert bizonyos van értelme ennek a mondatnak, csak egy kicsit becsapós. Tehát nem igaz, hogy ez a mondat, amit olvasol, összezavar, nem találsz fogást rajta, mert nem igaz vagy igazsága bizonytalan, vagy talán nincs is neki. Már majdnem a következő mondat után nézett az Úr, amikor meghallotta Lucifer kuncogását. Újra elgondolkozott. Ha ez a mondat hamis, akkor egyértelmű igazságértéke van, biztos, hogy nem igaz. Ha viszont nem igaz, akkor miképpen lehet, hogy amit a mondat mond megfelel a tényeknek: nem igaz vagy igazsága bizonytalan … Ellentmondásba keveredtünk, de most már világos: a mondat se nem igaz, se nem hamis, hanem merő értelmetlenség, zűrzavar, és ez bizonyosság. Hoppá, a mondat épp ezt állítja, tehát igazat mond, akkor mégiscsak igaz. Ezt azonban már egyszer megvizsgáltuk, kezdhetjük előröl, ördögi körbe kerültünk.

tarski2Nem várták meg az angyalok amíg az Atya haragra gerjed, gyorsan előrángatták a büféből Alfred Tarskit, aki a trónus előtt illendően meghajolt, és halkan mondott valamit. Sajnos többet nem tudunk. Nem tudjuk mi történt Lucifer mondatával, melyik zsákba került? Ha semelyikbe, akkor ott marad örökre az λ-jelű  mondat a mondatok ítélő széke előtt?

a milétoszi Eubulidész, Epimenidész és Alfred Tarski nyomán

Mire jött rá Harry Angel?

Vigyázat: spoiler!

 

angelheartAz Angyalszív című filmben a baljós külsejű Louis Cyphre (Robert de Niro) szerződteti Harry Angelt, a lepukkant magánkopót (Mickey Rourke), hogy megtaláljon egy Johnny Favorite művésznévre hallgató énekest. Angel munkához lát, de amint talál valakit, aki információval szolgálhatna, azt prompt meggyilkolják, méghozzá elég brutálisan. Végül azért összeáll a kép: a gyilkosságokat, pár másikkal egyetemben, Johnny Favorite követte el. De hát hol lehet Johnny Favorite? Amikor Angel beszámol felfedezéséről, Louis Cyphre, amúgy maga a sátán (Louis Cyphre = Lucifer), közli vele, Johnny Favorite nem más, mint, ő maga, Harry Angel. Angel persze mélységesen megdöbben.

De miért is? Nyilván azért, mert szert tett egy új hitre. Most álljunk meg egy rövid magyarázat erejéig. A hiteket a normális esetben olyan formájú mondatokkal tulajdonítjuk, hogy

X azt hiszi, hogy p

ahol X valamilyen személyre utal (Harry Angelre, Náncsi nénire, stb.), p pedig valamilyen kijelentésre (Géza kopaszodik, Géza és Lajos barátok, stb.). Amikor valakiről azt mondjuk, hogy hisz valamit, akkor nem foglalunk állást abban a tekintetben, hogy igaza van-e vagy sem. De a viselkedés magyarázata szempontjából csak a hitt kijelentés számít, annak igazsága nem. Ha Louis Cyphre hazudna Harry Angelnek, s ezért Angel hamis hitre tenne szert, ugyanúgy megdöbbenne. Mármost egy konkrét hit azonosításához meg kell adnunk a személyt (X-et), és a hit tartalmát (p-t).

A személy Harry Angel. De hogyan adhatnánk meg hitének tartalmát? Mi azt mondanánk, hogy

 Ő követte el azokat a gyilkosságokat.

Harry Angel pedig azt, hogy

Én követtem el azokat a gyilkosságokat.

Csakhogy ezek a szavak önmagukban elégtelenek a hit tartalmának azonosítására. Maradjunk a másodiknál. Ha Angel ejti ki ezeket a szavakat, igazat mond, ha a nyájas olvasó, akkor hamisat. Mivel egy és ugyanazon kijelentés nem lehet egyszerre igaz és hamis, e szavak más-más kijelentést fejeznek ki, attól függően, hogy ki mondja ki őket.

Hát akkor hagyjuk az „ő”-t, meg „én”-t, s mondjuk azt, hogy Angel azt hiszi, hogy

Harry Angel követte el azokat a gyilkosságokat.

Csakhogy önmagában ez sem magyarázza Angel megdöbbenését. Azt is hinnie kell, hogy

Ő Harry Angel.

Vagy ahogy ő maga mondaná:

Én vagyok Harry Angel.

Ezzel pedig visszajutottunk az előző problémához. Az „ő”-t vagy „én”-t tartalmazó mondatok önmagukban nem adják meg a hit tartalmát. Hogy milyen kijelentést fejeznek ki, attól függ, kire bökünk rá az „ő” kimondásakor, illetve hogy ki mondja ki az „én”-t tartalmazó mondatot.

Ilyen filozófiai kérdések nemcsak Hollywoodban merülnek fel. Tudod, hogy 9-kor kezdődik a vb-döntő. Ezt már jó ideje tudod, mégsem csinálsz semmit. Aztán ránézel az órára, és tigrisugrással veted rá magad a távirányítóra. Mi változott meg? Az, hogy rájöttél:

Most van 9 óra.

Ezek a szavak önmagukban megint csak nem határozzák meg a hit tartalmát, mert egy bizonyos időpontban kimondva igaz kijelentést fejeznek ki, más időpontban kimondva hamisat.

A gond a következő. A viselkedést – Angel megdöbbenését illetve a te tigrisugrásodat – egy új hittel szeretnénk magyarázni. E hit tartalmát azonban nem tudjuk szavakban kifejezni. Ha olyan mondatokkal próbálkozunk, amelyekben nem szerepel indexikus kifejezés – amilyen az „ő”, az „én” vagy a „most” szó –, nem kapunk magyarázatot, az olyan mondatok pedig, amelyekben szerepel, nem azonosítják a hit tartalmát. A kérdés az, hogy akkor hogyan jellemezhetjük azt a változást, amely a viselkedés megváltozását eredményezi.

Na, mit gondolsz?

John Perry nyomán

Következtess bármire!

Az első dolog, amit a logikában megtanul az ember, ez:

(I) A deduktív következtetések érvényessége egyedül logikai formájukon múlik: azon, hogy milyen logikai kötőszavakat tartalmaznak, és hogy hol szerepelnek bennünk azonos elemek.

 1 vagy 2. Nem 1. \ 2.

Ha például ebben a sémában az összes olyan helyre, amelyen ugyanaz a szám szerepel, ugyanazt a kijelentést írjuk, nem fordulhat elő, hogy az összes premissza igaz, de a konklúzió hamis lesz. Ha

1 = Sajtból van a hold.

2 = Kutyából nem lesz szalonna.

akkor

            Sajtból van a hold vagy kutyaából nem lesz szalonna. (igaz)

            Nincs sajtból a hold. (igaz )

            Kutyából nem lesz szalonna. (igaz)

Ha

1 = Kutyából nem lesz szalonna.

2 = Sajtból van a hold.

 akkor

Sajtból van a hold vagy kutyából nem lesz szalonna. (igaz)

Nem igaz, hogy kutyából nem lesz szalonna. (hamis )

Sajtból van a hold. (hamis)

 Akárhogy is törjük a fejünket, olyan behelyettesítést nem találunk, amely egyszerre tenné a premisszákat igazzá és a klonkúziót hamissá. Legalábbis amíg „vagy”-ot és a „nem”-et, az iménti sémában szereplő logikai kötőszavakat, a szokásos jelentésben használjuk. Mármost:

(II) A logikai kötőszavak jelentését teljes mértékben az határozza meg, hogy bizonyos velük végzett következtetések érvényesek.

Az „és” jelentését például az alábbi következtetések érvényessége rögzíti.

1. 2. \ 1 és 2.

1 és 2. \ 1.

1 és 2. \ 2.

Ahhoz, hogy valaki ismerje az „és” jelentését, tudnia kell, hogy így kell következtetni vele, és semmi egyebet nem kell tudnia.  (II)-nek nem mond ellent, hogy a logikai kötőszavak jelentését megadhatjuk más módon is, az „és”-ét például így.

Egy „1 és 2” alakú mondat akkor és csak akkor igaz, ha az „1” helyén álló mondat és a „2” helyén álló mondat is igaz.

Ebből a szabályból ugyanis kiolvasható, hogy az „és”-sel hogyan kell következtetni. Ha az „és”-es mondat igaz, tagmondatai is igazak. Ha mindkét tagmondat igaz, az „és”-es mondat is igaz. Vagyis az „és”-es mondatból következtethetünk bármely tagmondatra, és a két tagmondatból következtethetünk az „és”-es mondatra.

De ha (I) és (II) igaz, annak kínos következményei vannak. Vezessünk csak be egy új logikai kötőszót, a „tonk”-ot. (II) értelmében ehhez arra van szükség, hogy megadjuk a „tonk”- ot tartalmazó érvényes következtetéseket. Legyenek ezek a következők:

1. \ 1 tonk 2.

1 tonk 2. \ 2.

Ha a „tonk”-ot a szándékolt jelentésben használjuk, ezek a következtetések érvényesek, hiszen a „tonk” jelentését azzal rögzítettük, hogy ezek a következtetések érvényesek. Pontosan az a helyzet, mint az „és” esetében: mivel az „és” jelentését úgy rögzítettük, hogy leszögeztük, hogy a fenti három következtetés érvényes, a fenti három következtetés érvényes.

tonkAkkor most vegyünk egy tetszőleges p kijelentést. A felső tonk-szabály értelmében p-ből érvényesen következtethetünk p tonk q-ra, ahol q tetszőleges kijelentés. Az alsó tonk-szabály értelmében p tonk q-ról érvényesen következtethetünk q-ra. Vagyis a felső és az alsó tonk-szabály egymást követő alkalmazásával bármely p kijelentésből következtethetünk bármely q kijelentésre. Abból, hogy „Magyarország fővárosa Budapest” érvényesen következtethetünk arra, hogy „Száraz ágon fütyörész egy vaddisznó”, vagy éppenséggel arra, hogy „Jeromos tíz centivel magasabb önmagánál”.

Valamit elrontottunk. De mit?

  Arthur N. Prior nyomán